Medijana

Medijana (Me) je poziciona srednja vrednost čija se vrednost obeležja nalazi u sredini serije čiji su članovi raspoređeni po rastućoj vrednosti posmatranog obeležja.

Medijana predstavlja pravu pozicionu vrednost. Da bi mogla da se odredi, prvo se podaci u seriji  moraju urediti po rastućem redosledu, tj. od  najmanjeg do najvećeg. Zatim se određuje član koji se nalazi u sredini te serije.

Srednji član serije se određuje po formuli:

Mesto\ \left(pozicija\right)\ medijane=\frac{n+1}{2}

Medijana deli seriju na dva jednaka dela. Jedan gde su svi članovi manji od medijane i drugi gde su svi veći. Način određivanja zavisi od toga da li serija ima paran ili neparan broj podataka.

Izračunavanje medijane u zavisnosti od vrste serije

Kao i kod modusa, i kod medijane njeno određivanje zavisi od vrste podataka, pa tako medijanu računamo kod:

• negrupisanih podataka,
• grupisanih podataka (prekidno numeričko obeležje),
• intervalno grupisanih podataka i
• atributivnih (kvalitativnih) serija.

MEDIJANA KOD NEGRUPISANIH PODATKA

Posmatramo statističku seriju x₁,x₂,…,x_n

Ako je n neparan broj tada se pozicija medijane određuje:

Me (pozicija) =  (n+1)/2

Primer:

Za statističke podatke o broju članova u 7  porodica odrediti medijanu: 2, 3, 2, 5, 4, 4, 3. Prvi korak je sortiranje podataka po rastućem  redosledu.

Kako je broj podataka neparan n=7,  primenjujemo pravilo za izračunavanje pozicije medijane:

\frac{N+1}{2}=\frac{7+1}{2}=4=>x_4

Dakle, medijana je 3. Tumačenje medijane bi bilo da polovina porodica ima do 3 člana, a druga polovina više od 3 člana u porodici.

Ako je n paran broj tada se pozicija medijane određuje po istoj formuli, s tim što se pozicija nalazi između dva člana, pa se onda računa aritmetička sredina tih članova.

Primer:

Izračunaj medijanu za statističke podatke o broju članova u 8 porodica. Podaci o broju članova su sledeći: 2,3,2,5,4,5,4,3.

Prvo sortiramo podatke po rastućem redosledu:

Izračunavamo poziciju medijane:

Me=x\frac{N+1}{2}=x\frac{8+1}{2}=x_{4,5}\ 

Me=\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}=3,5

Medijana iznosi 3,5. Polovina porodica ima manje od 3,5 člana, dok druga polovina ima više od 3,5 člana u porodici.

MEDIJANA ZA GRUPISANE PODATKE

Kada su podaci grupisani u distribuciju  numeričko prekidno obeležje, potrebno je tabelu proširiti sa dodatnom kolonom u kojoj izračunvamo kumulativ «ispod». Za diskretne vrednosti klasa, može se odrediti  tačna vrednost medijane koristeći prethodno  definisana pravila.

Primer:

Na osnovu raspored prodavnica i prema broj prodatih klima uređaja datih u tabeli, izračunaj medijanu.

Prvo ćemo izračunati kumulativ ispod. Zatim koristimo formulu za izračunavanje pozicije medijane.

Me=x\frac{N+1}{2}=x\frac{17+1}{2}=x_9

Objašnjenje: 9. član se nalazi na prvoj  poziciji gde je kumulativna frekvencija  veća ili jednaka sa 9. Medijana je 22. To znači da je polovina prodavnica prodalo do 22 klima uređaja, dok je druga polovina prodala više od 22 klima uređaja.

MEDIJANA ZA INTERVALNO GRUPISANE PODATKE

Kada je serija intervalna, ne može se odrediti tačna vrednost medijane. Tu postoje dva pristupa. Medijana se računa kao sredina intervala ili se računa po formuli:

M=l+\frac{\frac{N}{2}-cumf_{m-1}}{f_m}\ast i

Gde je:

• l donja granica medijalnog intervala
• N broj podataka u seriji
• f_m-1 kumulativna frekvencija za intervalnu grupu  koja prethodi medijalnoj
• f_m frekvencija medijalnog intervala
• i  širina intervala

Primer:

Na osnovu rasporeda 39  radnika prema izvršenju  norme datom u tabeli,  odrediti medijanu.

Ukupan broj podataka u seriji je 39, znači  da se  medijana  nalazi  na 20. članu serije, ali  njega u intervalnoj seriji  ne možemo tačno da  nađemo.

Me=\ \frac{39+1}{2}=20\ -mesto\ medijane

Me=\ \frac{99+104}{2}=101,5\ 

Zbog veće preciznosti, medijana se računa pomoću formule:

M=l+\frac{\frac{N}{2}-cumf_{m-1}}{f_m}\ast i

Me=99+\frac{\frac{39}{2}-9}{15}\ast6=103,2

Dakle, polovina radnika ima normu do 103,2 časova, dok druga polovina ima normu veću od 103,2 časova.

MEDIJANA KOD ATRIBUTIVNOG OBELEŽJA

Kod atributivnog obeležja, slično kao kod serija distribucije frekvencija, prvo izračunamo kumulativ ispod, a zatim odredimo poziciju medijane. Medijana će biti podatak koji ima kumulativ manji ili jednaki poziciji medijane.

Primer:

Na osnovu podataka iz tabele izračunati medijanu kod atributivne serije.

Pozicija medijane biće:

Me=\ \frac{907+1}{2}=454\ mesto\ medijane

Polovina učenika ima najviše dobar uspeh, dok druga polovina ima vrlo dobar i odličan uspeh.

Osobine medijane

• Medijana je poziciona srednja vrednost koja nije osetljiva na ekstremne vrednosti, pa je zato mnogo bolja nego aritmetička sredina.
• Za razliku od modusa koji se ne može izračunati za svaku numeričku seriju, medijana se može izračunati za bilo koju numeričku seriju.
• Pored numeričkog obeležja, medijanu možemo odrediti i kao atributivno obeležje koje se meri na ordinalnoj skali.