Медијана

Медијана (Ме) је позициона средња вредност чија се вредност обележја која се налази у средини серије чији су чланови распоређени по растућој вредности посматраног обележја.

Медијана представља праву позициону вредност. Да би могла да се одреди, прво се подаци у серији  морају уредити по растућем редоследу, тј. од  најмањег до највећег. Затим се одређује члан који се налази у средини те серије.

Средњи члан серије се одређује по формули:

Место\ \left(позиција\right)\ медијане=\frac{n+1}{2}

Медијана дели серију на два једнака дела. Један где су сви чланови мањи од медијане и други где су сви већи. Начин одређивања зависи од тога да ли серија има паран или непаран број података.

Израчунавање медијане у зависности од врсте серије

Као и код модуса, и код медијане њено одређивање зависи од врсте података, па тако медијану рачунамо код:

• негруписаних података,
• груписаних података (прекидно нумеричко обележје),
• интервално груписаних података и
• атрибутивних (квалитативних) серија.

МЕДИЈАНА КОД НЕГРУПИСАНИХ ПОДАТКА

Посматрамо статистичку серију x₁,x₂,…,x_n

Ако је n непаран број тада се позиција медијане одређује:

Mе (позиција) =  (n+1)/2

Пример:

За статистичке податке о броју чланова у 7  породица одредити медијану: 2, 3, 2, 5, 4, 4, 3. Први корак је сортирање података по растућем  редоследу.

Како је број података непаран n=7,  примењујемо правило за израчунавање позиције медијане:

\frac{N+1}{2}=\frac{7+1}{2}=4=>x_4

Дакле, медијана је 3. Тумачење медијане би било да половина породица има до 3 члана, а друга половина више од 3 члана у породици.

Ако је n паран број тада се позиција медијане одређује по истој формули, с тим што се позиција налази између два члана, па се онда рачуна аритметичка средина тих чланова.

Пример:

Израчунај медијану за статистичке податке о броју чланова у 8 породица. Подаци о броју чланова су следећи: 2,3,2,5,4,5,4,3.

Прво сортирамо податке по растућем редоследу:

Израчунавамо позицију медијане:

Me=x\frac{N+1}{2}=x\frac{8+1}{2}=x_{4,5}\ 

Me=\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}=3,5

Медијана износи 3,5. Половина породица има мање од 3,5 члана, док друга половина има више од 3,5 члана у породици.

МЕДИЈАНА ЗА ГРУПИСАНЕ ПОДАТКЕ

Када су подаци груписани у дистрибуцију  нумеричко прекидно обележје, потребно је табелу проширити са додатном колоном у којој израчунвамо кумулатив «испод». За дискретне вредности класа, може се одредити  тачна вредност медијане користећи претходно  дефинисана правила.

Пример:

На основу распоред продавница и према број продатих клима уређаја датих у таблели, израчунај медијану.

Прво ћемо израчунати кумулатив испод. Затим користимо формулу за израчунавање позиције медијане.

Me=x\frac{N+1}{2}=x\frac{17+1}{2}=x_9

Објашњење: 9. члан се налази на првој  позицији где је кумулативна фреквенција  већа или једнака са 9. Медијана је 22. То значи да је половина продавница продало до 22 клима уређаја, док је друга половина продала више од 22 клима уређаја.

МЕДИЈАНА ЗА ИНТЕРВАЛНО ГРУПИСАНЕ ПОДАТКЕ

Када је серија интервална, не може се одредити тачна вредност медијане. Ту постоје два приступа. Медијана се рачуна као средина интервала или се рачуна по формули:

M=l+\frac{\frac{N}{2}-cumf_{m-1}}{f_m}\ast i

Где је:

• l доња граница медијалног интервала
• N број података у серији
• f_m-1 кумулативна фреквенција за интервалну групу  која претходи медијалној
• f_m фреквенција медијалног интервала
• i  ширина интервала

Пример:

На основу распореда 39  радника према извршењу  норме датом у табели,  одредити медијану.

Укупан број података у серији је 39, значи  да се  медијана  налази  на 20. члану серије, али  њега у интервалној серији  не можемо тачно да  нађемо.

Me=\ \frac{39+1}{2}=20\ -место\ медијане

Me=\ \frac{99+104}{2}=101,5\ 

Због веће прецизности, медијана се рачуна помоћу формуле:

M=l+\frac{\frac{N}{2}-cumf_{m-1}}{f_m}\ast i

Me=99+\frac{\frac{39}{2}-9}{15}\ast6=103,2

Дакле, половина радника има норму до 103,2 часова, док друга половина има норму већу од 103,2 часова.

МЕДИЈАНА КОД АТРИБУТИВНОГ ОБЕЛЕЖЈА

Код атибутивног обележја, слично као код серија диструбције фреквенција, прво израчунамо кумулатив испод, а затим одредимо позицију медијана. Медијана ће бити податак који има кумулатив мањи или једнаки позицији медијане.

Пример:

На основу података из табеле израчунати медијану код атрибутивне серије.

Позиција медијане биће:

Me=\ \frac{907+1}{2}=454\ место\ медијане

Половина ученика има највише добар успех, док друга половина има врло добар и одличан успех.

Особине медијане

• Медијана је позициона средња вредност која није осетљива на екстремне вредности, па је зато много боља него аритметичка средина.
• За разлику од модуса који се не може израчунати за сваку нумеричку серију, медијана се може израчунати за било коју нумеричку серију.
• Поред нумеричког обележја, медијану можемо одредити и као атрибутивно обележје које се мери на ординалној скали.