Aritmetička sredina

Aritmetička sredina je izračunata srednja vrednost koja je jednaka količniku zbira svih vrednosti obeležja i njihovog broja. Obeležava se sa x̄ ( x bar) ili grčkim slovom μ (mi). Aritmetička sredina se različito računa za grupisane i negrupisane podatke.

ARITMETIČKA SREDINA ZA NEGRUPISANE PODATKE-PROSTA ARITMETIČKA SREDINA

Aritmetička sredina za negrupisane podatke izračunava se (1):

\mu=\frac{x_1+x_2+...+x_n\ }{n}

=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}

Gde je:

• 𝑥_𝑖 vrednost podataka iz serije
• 𝑛 ukupan broj podataka

PRIMER 1:

Izračunati prosečan i ukupan broj dana koje jedan radnik provede na bolovanju, na osnovu podataka o broju dana bolovanja u toku godine.

Broj dana: 7, 23, 4, 8, 2, 12, 6,13, 9, 4

\mu=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}

=\frac{x_1+x_2+...+x_n\ }{n}

\frac{7+23+4+8+2+12+6+13+9+4}{10}

=\frac{88}{10}=8,8

Ukupan broj dana provedenih na bolovanju je 88,  a prosečno 8,8 dana na bolovanju.

ARITMETIČKA SREDINA  ZA  GRUPISANE PODATKE – PONDERISANA ARITMETIČKA SREDINA

Kod grupisanih podataka aritmetička sredina se računa tako što se vrednosti pojedinih obeležja (x) pomnože frekvencijama (f) i dobijeni rezultat sabere (∑(𝑥∗𝑓)), a zatim se podeli sa ukupnim brojem svih jedinica posmatranja∑𝑓. Prethodna aritmetička formula dobija sledeći obrazac:

\mu=\frac{f_1\mathrm{x}\ _1+f_2x_2+\ldots+f_nx_n\ }{f_1+f_2+...+f_n}

=\frac{\sum_{i=1}^nf_ix_i}{\sum_{i=1}^nf_i}

Pri čemu je:

• n ukupan broj klasa,
• 𝑥𝑖 vrednost obeležja i-te klase (kod intervalnih klasa to je sredina intervala)
• 𝑓𝑖 frekvencija i-te klase.

PRIMER 2:

Na osnovu broja prodatih mobilnih telefona u jednom danu, odredite prosečan broj telefona koji se prodaju dnevno.

\mu=\frac{f_1\mathrm{x}\ _1+f_2x_2+\ldots+f_nx_n\ }{f_1+f_2+...+f_n}_{ }

Potrebno je formirati novu tabelu sa kolonom u kojoj ćemo pomnožiti obeležja i frekvencije.

=\frac{\sum_{i=1}^nf_ix_i}{\sum_{i=1}^nf_i}

=\frac{330}{30}=11

Prosečno se u radnji dnevno proda 11 mobilnih telefona.

ARITMETIČKA SREDINA KOD GRUPISANIH INTERVALNIH PODATAKA

PRIMER 3:

Izračunati prosečno vreme za izradu proizvoda na osnovu podataka iz tabele:

Potrebno je formirati novu tabelu u kojoj ćemo izračunati aritmetičku sredinu intervala i izračunati pondere.

\mu=\frac{\sum_{i=1}^nf_ix_i}{\sum_{i=1}^nf_i}=\frac{654,8}{40}=16,37

Zajedničke osobine svih srednjih vrednosti

Prosečno vreme za izradu jednog proizvoda iznosi 16,37 časova.

Zajedničke karakteristike svih srednjih vrednosti su sledeće

• Sve izračunate srednje vrednosti se računaju na osnovu svih vrednosti posmatranog obeležja, tj. na osnovu svih vrednosti skupa podataka, ali se po pravilu ne poklapaju ni sa jednom od tih vrednosti,
• izračunate srednje vrednosti su veće od najmanje vrednosti i manje od najveće vrednosti obeležja u toj seriji,
• izračunata srednja vrednost je broj koji ne mora da postoji u seriji i
• u slučaju da su svi podaci posmatranog skupa jednaki, onda su izračunate vrednosti jednake toj vrednosti.

Specifične osobine aritmetičke sredine

• zbir odstupanja svih vrednosti posmatranog obeležja od njihove aritmetičke sredine jednak je 0.
  ∑(𝑥−𝜇)=0;
• zbir kvadrata odstupanja od svake vrednosti posmatranog obeležja od aritmetičke sredine je minimalan.
  ∑(𝑥−𝜇)² <∑(𝑥−𝑧)² ;
  ∑(𝑥−𝜇)² =min;
• ako se svaka vrednost posmatranog obeležja zameni aritmetičkom sredinom ukupan zbir obeležja se ne menja
  ∑𝑥=𝜇∗𝑁;
• aritmetička sredina je osetljiva na ekstremne vrednosti. To znači da gde postoje ekstremne vrednosti aritmetička sredina nije najbolji pokazatelj.