Аритметичка средина

Аритметичка средина је израчуната средња вредност која је једнака количнику збира свих вредности обележја и њиховог броја. Обележава се са x̄ ( x бар) или грчким словом μ (ми). Аритметичка средина се различито рачуна за груписане и негруписане податке.

АРИТМЕТИЧКА СРЕДИНА ЗА НЕГРУПИСАНЕ ПОДАТКЕ-ПРОСТА АРИТМЕТИЧКА СРЕДИНА

Аритметичка средина за негруписане податке израчунава се (1):

\mu=\frac{x_1+x_2+...+x_n\ }{n}

=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}

Где је:

• 𝑥_𝑖 вредност података из серије
• 𝑛 укупан број података

ПРИМЕР 1:

Израчунати просечан и укупан број дана које један радник проведе на боловању, на основу података о броју дана боловања у току године.

Број дана: 7, 23, 4, 8, 2, 12, 6,13, 9, 4

\mu=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}

=\frac{x_1+x_2+...+x_n\ }{n}

\frac{7+23+4+8+2+12+6+13+9+4}{10}

=\frac{88}{10}=8,8

Укупан број дана проведених на боловању је 88,  а просечно 8,8 дана на боловању.

АРИТМЕТИЧКА СРЕДИНА  ЗА  ГРУПИСАНЕ ПОДАТКЕ – ПОНДЕРИСАНА АРИТМЕТИЧКА СРЕДИНА

Код груписаних података аритметичка средина се рачуна тако што се вредности појединих обележја (x) помноже фреквенцијама (f) и добијени резултат сабере (∑(𝑥∗𝑓)), а затим се подели са укупним бројем свих јединица посматрања∑𝑓. Претходна аритметичка формула добија следећи образац:

\mu=\frac{f_1\mathrm{x}\ _1+f_2x_2+\ldots+f_nx_n\ }{f_1+f_2+...+f_n}

=\frac{\sum_{i=1}^nf_ix_i}{\sum_{i=1}^nf_i}

При чему је:

• n укупан број класа,
• 𝑥𝑖 вредност обележја i-те класе (код интервалних класа то је средина интервала)
• 𝑓𝑖 фреквенција i-те класе.

ПРИМЕР 2:

На основу броја продатих мобилних телефона у једном дану, одредите просечан број телефона који се продају дневно.

\mu=\frac{f_1\mathrm{x}\ _1+f_2x_2+\ldots+f_nx_n\ }{f_1+f_2+...+f_n}_{ }

Потребно је формирати нову табелу са колоном у којој ћемо помножити обележја и фреквенције.

=\frac{\sum_{i=1}^nf_ix_i}{\sum_{i=1}^nf_i}

=\frac{330}{30}=11

Просечно се у радњи дневно прода 11 мобилних телефона.

АРИТМЕТИЧКА СРЕДИНА КОД ГРУПИСАНИХ ИНТЕРВАЛНИХ ПОДАТАКА

ПРИМЕР 3:

Израчунати просечно време за израду производа на основу података из табеле:

Потребно је формирати нову табелу у којој ћемо израчунати аритметичку средину интервала и израчунати пондере.

\mu=\frac{\sum_{i=1}^nf_ix_i}{\sum_{i=1}^nf_i}=\frac{654,8}{40}=16,37

Заједничке особине свих средњих вредности

Просечно време за израду једног производа износи 16,37 часова.

Заједничке карактеристике свих средњих вредности су следеће

• Све израчунате средње вредности се рачунају на основу свих вредности посматраног обележја, тј. на основу свих вредности скупа података, али се по правилу не поклапају ни са једном од тих вредности,
• израчунате средње вредности су веће од најмање вредности и мање од највеће вредности обележја у тој серији,
• израчуната средња вредност је број који не мора да постоји у серији и
• у случају да су сви подаци посматраног скупа једнаки, онда су израчунате вредности једнаке тој вредности.

Специфичне особине аритметичке средине

• збир одступања свих вредности посматраног обележја од њихове аритметичке средине једнак је 0.
  ∑(𝑥−𝜇)=0;
• збир квадрата одступања од сваке вредности посматраног обележја од аритметичке средине је минималан.
  ∑(𝑥−𝜇)² <∑(𝑥−𝑧)² ;
  ∑(𝑥−𝜇)² =min;
• ако се свака вредност посматраног обележја замени аритметичком средином укупан збир обележја се не мења
  ∑𝑥=𝜇∗𝑁;
• аритметичка средина је осетљива на екстремне вредности. То значи да где постоје екстремне вредности аритметичка средина није најбољи показатељ.